『群論への第一歩』「第2章　写像」ノート

写像を使うと、二つの集合の関係が表せる

写像の定義

二つの集合XとYがあって、Xに属しているどの元に対しても、Yに属している元がそれぞれ一つずつ対応するとき、その対応のことを「XからYへの写像」といいいます。fが、XからYへの写像であることを、

$ f:X \to Y

と表記します。また、写像fによってXの元xがYの元yに対応することを、

$ f:x \mapsto y

と表記します。このときのyを「写像fによるxの像」といいます。「xにおける写像fの値」ともいいます。xにおける写像fの値を、

$ f(x)

と表記します。

写像は関数（操作）のように見えるが、むしろ関数が写像の一種という捉え方

数列も写像の一種と見なせる

その他の用語

始域、終域、定義域、値域

始域は起点となる集合Xのことで、定義域でもある

終域は終点となる集合Yのことで、値域はその集合Yの中で、始域から移されてきたものの集合（つまり集合Yの部分集合）

「像」という言葉

集合Xのx（元）に対する集合Yのy（元）のこと

Xの部分集合Aがあるとして、Aの元aに対応するf(a)全体の集合を「fによるAの像」という

写像の相等関係の定義

fとgはどちらも集合Xから集合Yへの写像とします。集合Xの任意の元xに対して、

$ f(x) = g(x)

であるとき、二つの写像fとgは等しいといい、

$ f = g

と表記します

なにもしない

定値写像

一点に集約（Yのyが一定の値という感じ）

Xの元がそれぞれ異なるYの元に移されること

「だぶらない写像」

全射

すべてのYの元に対して、対応するXの元があること

「もれがない写像」

全単射

もれがなく、だぶりもない写像

XからYへの全単斜が存在するならば、Xの元の個数とYの元の個数は等しいことになる

$ |X| = |Y|

合成写像

X→Y→Zのような写像

イメージとしては、関数の引数に関数に引数を入れたものを入れる、的な感じ

逆写像

gは写像fの逆写像という

以下のように表すこともできる

$ f^{-1}

逆写像が存在するのはfが全単射のときだけ

また逆写像が存在するならば一つだけ（複数はない）

集合の直積

ペアにしたものは順序対と呼ばれる

二項演算

2+3=5は、(2,3)の順序対を、5という元に移しているとも捉えられる

閉性（閉じている）

直積A×Aを定義域に持つ写像fによって、任意の元(a,b）が移るとき、それが集合Aの元であるならば、集合Aは写像fで閉じているという。閉性を持つともいう

記述の参考